Expression:
« La carotte ou le bâton »

Signification:
L'incitation ou la menace.
La récompense ou la punition.

Origine:
Pour commencer, posez un âne devant vous et tentez de le faire avancer. Bien entendu, il refuse.

Munissez-vous alors dans la main gauche, d'une carotte (une friandise pour l'animal) et dans la main droite, d'un bâton.
Pour le faire avancer, vous avez alors le choix entre :
Lui mettre la carotte sous le nez et la faire reculer au fur et à mesure que l'âne avance pour essayer de la croquer (dans ce cas, c'est l'incitation ou la tentation que vous choisissez) ;
Lui donner des coups de bâton (dans ce cas, c'est la menace ou punition que vous utilisez)
Cette expression est donc une métaphore. Elle est récente en France (1966) et n'est autre qu'une traduction littérale de l'anglais "the carrot or the stick" dont l'Oxford English Dictionary dit qu'elle date de 1948.

Complément:
Il ne faut pas confondre avec "la carotte et le bâton" ("the carrot and the stick") qui, cette fois, fait simplement référence à cette image de la carotte suspendue à un bâton et maintenue devant le nez de l'animal par la personne qui le monte et tient le bâton, image qu'on a souvent vue dans des dessins animés américains, par exemple.